5.3. Дополнительная работа деформации.

Будем исходить из уравнений статики в объеме и на поверхности (2.8.4), (2.8.5), выраженных через тензор Пиола — Кирхгоффа

Вариация потенциальной энергии деформации 6 а, равная работе внешних сил на возможном перемещении из состояния равновесия, дается выражением

Здесь использованы уравнение равновесия в объеме (5.3.1), преобразование поверхностного интеграла в объемный, известная формула дивергенции произведения тензора на вектор (II. 3.10), а также переставимость операций V и 6.

Величина под знаком интеграла (5.3.2) представляет вариацию удельной потенциальной энергии деформации

Отсюда, сославшись на определение градиента скаляра по тензору (I. 12.7), имеем

Выражение (5.3.3) переписывается в виде

и в рассмотрение вводятся величины, называемые удельной дополнительной работой и дополнительной работой деформации

Из (5.3.5) и (5.3.6) имеем

Предполагая теперь, что В выражено через тензор снова сославшись на (I. 12.7), придем к соотношениям, обратным

В проведенном здесь преобразовании Лежандра удельная потенциальная энергия деформации играет роль производящей функции преобразования производящей функцией обратного преобразования служит удельная дополнительная работа деформации.

Соотношение (5.3.4) является уравнением состояния нелинейно-упругого тела, выражающим тензор через Из этой, в общем случае, системы девяти уравнений требуется определить тензор Ее разрешимость требует необращения в нуль гессиана

где компоненты Конечно, эта задача трудна. Ее решение для полулинейного материала (п. 2.8) приведено ниже в п. 5.5.