6.6. Статически неуравновешенный вращающийся диск.

Решение этой задачи приводится в качестве примера на применение общих формул п. 6.3. Предполагается, что точка пересечения О оси вращения однородного диска с его средней плоскостью не совпадает с его геометрическим центром (являющимся также центром тяжести). Отрезок (эксцентриситет) расположен на оси связанной с диском и вместе с ним вращающейся с постоянной угловой скоростью со системой осей Тогда координаты точки О будут , а объемная центробежная сила в точке может быть задана вектором

Главный вектор этих сил и их главный момент относительно центра С равны

причем масса диска. Центробежные силы уравновешиваются реакцией оси О — сосредоточенной силой в точке . Поэтому напряженное состояние в диске является наложением, во-первых, состояния, создаваемого центробежными силами

и, во-вторых, состояния, создаваемого однородным полем сил

статически уравновешенных реакцией в точке О

Решение первой задачи элементарно. Частное решение уравнения статики, удовлетворяющее условию сплошности, дается формулами (3.11.6) гл. V, если в них заменить по правилу

Корректирующая осесимметричная функция напряжений определяется условием обращения в нуль нормального напряжения а на окружности диска

и напряженное состояние во вращающемся вокруг своего центра тяжести диске дается формулами

Частным решением уравнений теории упругости в однородном силовом поле (6.6.3) может служить

или, в полярных координатах,

Функция напряжений, определяющая напряженное состояние, создаваемое силой представляется по (3.1.10) выражением

и по

Наложение состояний (6.6.7), (6.6.9) определяет на окружности у единичного круга напряжение

причем использованы обозначения (6.2.3) и введен безразмерный параметр эксцентриситета

Задача сведена к определению функций таких, чтобы определяемое по формуле (1.14.9) напряжение

принимало на у значение (6.6.10), но противоположного знака. Приходим к краевым условиям

Здесь

и нетрудно проверить, что система поверхностных сил, представляемая этим выражением, статически эквивалентна нулю. Действительно, по (6.2.4)

— отличны от нуля интегралы от подчеркнутых слагаемых, дающие в сумме нуль. Аналогично проверяется второе равенство (6.2.4).

Остается провести вычисление функций По (6.3.1) имеем

Отличны от нуля и непосредственно вычисляются по первой интегральной формуле Коши (5.10.2) интегралы, соответствующие подчеркнутым слагаемым. Остальные интегралы обращаются в нуль согласно второй интегральной формуле (5.10.3). Получаем

так что

По (6.3.2) находим теперь

Вычисление напряжений по функциям теперь не составит труда. К этим напряжениям, измененным по (1.6.5), добавляются напряжения (6.6.6) от центробежных сил.