1.6. Тензор функций напряжений.
Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4) линейны относительно компонент тензора напряжений, и их решение представляется суммой какого-либо частного решения уравнения
и решения однородного уравнения
Частное решение предполагается известным; оно для практически встречающихся заданий массовых сил (сила тяжести, центробежная сила) без труда находится (в линейной теории упругости при 
Поэтому речь будет идти об общем представлении тензора с равной нулю дивергенцией; чтобы не усложнять записей, назовем его 
вместо 
Такой тензор следует искать в виде (см. (II. 4.16))
где 
тензор второго ранга, который надо в соответствии с (1.5.5) подчинить условию
Сославшись на (II. 4.13), можно удовлетворить этому условию, принимая
где 
любой симметричный тензор второго ранга. Итак, тензор
удовлетворяет поставленным условиям: он симметричен, а его дивергенция равна нулю. Симметричный тензор 
называется тензором функций напряжений.
Взяв тензор 
в диагональной форме
придем по (II. 4.15) к представлению напряжений через три функции напряжений Максвелла:
Представление тензора напряжений через функции напряжений Морера получим, полагая нулями диагональные компоненты
Оно имеет вид
Представление напряжений через функции Максвелла неинвариантно, так как при преобразовании координат тензор, ранее диагональный, уже не останется таковым. Неинвариантно и представление Морера. Инвариантное представление тензора
напряжений (1.6.6) было независимо друг от друга дано Б. Финци (В. Finzi), Ю. А. Крутковым, и В. И. Блохом.
В плоской задаче теории упругости напряжения не зависят от координаты 
а компоненты 
тензора напряжений отсутствуют. Инвариантное относительно поворота вокруг оси 
выражение тензора функций напряжений можно взять в виде
где 
постоянная. Тогда по (1.6.8)
Функция 
представляет функцию напряжений Эри (Airy); сразу легко видеть, что выражения (1.6.11) тождественно удовлетворяют однородным уравнениям равновесия плоской задачи
Из представления (1.6.6) видно, что по заданному тензору напряжения 
тензор функции напряжений определен с точностью до слагаемого 
симметричного тензора, операция 
над которым равна нулю. Таким тензором, как увидим ниже, в п. 2.1 гл. II, и что легко проверить, является линейный тензор деформации над любым вектором о:
Итак, полагая
имеем
Следовательно, в задание 
входят три произвольно назначаемые функции 
это позволяет понять, почему шесть функций 
связанных тремя дифференциальными уравнениями (1.5.6), оказались выраженными через шесть, а не три, функций напряжений 
