6.7. Соприкасание поверхностей.

Рассматриваются два тела, ограниченные выпуклыми поверхностями и соприкасающиеся в точке О. Принимая эту точку за начало систем координат, проведем оси перпендикулярные к общей касательной плоскости поверхностей в точке О, внутрь каждого из тел. Оси систем связанных с первым и соответственно со вторым телом, направим в плоскости по главным нормальным сечениям поверхностей Уравнения поверхностей в этих системах осей в окрестности точки соприкасания О представляются в виде

где главные кривизны поверхности в точке О, положительные, если соответствующий центр кривизны расположен внутри тела, то есть на положительной оси аналогичное значение имеют величины для поверхности . В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением локальных

явлений в области контакта; это позволяет сохранить в уравнениях (6.7.1) только написанные слагаемые.

Расстояние между двумя точками поверхностей расположенными на одном перпендикуляре к плоскости равно

и очевидно, что на рис. 21, а и б показаны два возможных расположения поверхностей при их внешнем и внутреннем соприкасании.

Рис. 21

Дальнейшее рассмотрение имеет целью представить в виде

для чего вводится новая система осей если обозначить через углы, составляемые осями с осью х, то по формулам преобразования координат

и выражение z представится в виде

где обозначено:

Через а назовем угол между осями (отсчитываемый от ):

и введем в рассмотрение средние кривизны поверхностей в точке О:

так что

Теперь подберем величину

так, чтобы обратить в нуль слагаемое в (6.7.4), содержащее произведение

Вместе с тем по (6.7.5) и (6.7.9) имеем

Из двух уравнений: (6.7.10) и первого уравнения (6.7.11) находим теперь

где

Теперь находится по условию после чего определится по (6.7.8):

через обозначена большая из двух величин По (6.7.12) имеем также

Таким образом определена система осей в которых квадратичная форма (6.7.4) приведена к сумме квадратов (6.7.3), и найдены коэффициенты этой формы Они оба положительны, так как при любых значениях переменных х, у.

Рис. 22.

Рис. 23.

В частном случае поверхностей вращения с параллельными осями при их внешнем (рис. 22, а) и внутреннем (рис. 22, б) соприкасании имеем и по (6.7.13), (6.7.5)

Тогда при

имеем

Если

то

и в обоих случаях

Случай поверхностей вращения с осями, расположенными накрест, представлен на рис. 23, а при внешнем соприкасании и на рис. 23, б при внутреннем. Теперь так что

и при

соответственно имеем

Интересен также случай соприкасания поверхностей вращения в точке на оси вращения Тогда

Угол а произвольный, Получаем при внешнем соприкасании

и эта же формула сохраняется и при внутреннем соприкасании, но тогда большая по модулю из двух величин отрицательна.

Например, для двух соприкасающихся извне шаров радиусов по (6.7.20)

а для шара радиуса в сферической полости радиуса

При соприкасании двух цилиндров радиусов а и с накрест расположенными осями

В случае шара радиуса в цилиндрическом желобе радиуса

причем ось х направлена перпендикулярно образующей цилиндра.