явлений в области контакта; это позволяет сохранить в уравнениях (6.7.1) только написанные слагаемые.
Расстояние между двумя точками 
поверхностей 
расположенными на одном перпендикуляре к плоскости 
равно
и очевидно, что 
на рис. 21, а и б показаны два возможных расположения поверхностей 
при их внешнем и внутреннем соприкасании.
Рис. 21
Дальнейшее рассмотрение имеет целью представить 
в виде
для чего вводится новая система осей 
если обозначить через 
углы, составляемые осями 
с осью х, то по формулам преобразования координат
и выражение z представится в виде
где обозначено:
Через а назовем угол между осями 
(отсчитываемый от 
):
и введем в рассмотрение средние кривизны поверхностей 
в точке О:
так что
Теперь подберем величину
так, чтобы обратить в нуль слагаемое в (6.7.4), содержащее произведение 
Вместе с тем по (6.7.5) и (6.7.9) имеем
Из двух уравнений: (6.7.10) и первого уравнения (6.7.11) находим теперь 
где
Теперь находится по условию 
после чего определится по (6.7.8):
через обозначена большая из двух величин 
По (6.7.12) имеем также
Таким образом определена система осей 
в которых квадратичная форма (6.7.4) приведена к сумме квадратов (6.7.3), и найдены коэффициенты этой формы 
Они оба положительны, так как 
при любых значениях переменных х, у.
Рис. 22.
Рис. 23.
В частном случае поверхностей вращения с параллельными осями при их внешнем (рис. 22, а) и внутреннем (рис. 22, б) соприкасании имеем 
и по (6.7.13), (6.7.5)
Тогда при
имеем
Если
то
и в обоих случаях 
Случай поверхностей вращения с осями, расположенными накрест, представлен на рис. 23, а при внешнем соприкасании и на рис. 23, б при внутреннем. Теперь 
так что
и при
соответственно имеем
Интересен также случай соприкасания поверхностей вращения в точке на оси вращения 
Тогда
Угол а произвольный, 
Получаем при внешнем соприкасании
и эта же формула сохраняется и при внутреннем соприкасании, но тогда большая по модулю из двух величин 
отрицательна.
Например, для двух соприкасающихся извне шаров радиусов 
по (6.7.20)
а для шара радиуса 
в сферической полости радиуса 
При соприкасании двух цилиндров радиусов а и 
с накрест расположенными осями
В случае шара 
радиуса 
в цилиндрическом желобе 
радиуса 
причем ось х направлена перпендикулярно образующей цилиндра.
и соприкасающиеся в точке О. Принимая эту точку за начало систем координат, проведем оси 
перпендикулярные к общей касательной плоскости 
поверхностей 
в точке О, внутрь каждого из тел. Оси 
систем 
связанных с первым и соответственно со вторым телом, направим в плоскости 
по главным нормальным сечениям поверхностей 
Уравнения поверхностей 
в этих системах осей в окрестности точки соприкасания О представляются в виде
главные кривизны поверхности 
в точке О, положительные, если соответствующий центр кривизны расположен внутри тела, то есть на положительной оси 
аналогичное значение имеют величины 
для поверхности 
. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением локальных
