§ 5. Эффекты второго порядка
5.1. Выделение линейных слагаемых в законе состояния.
В рассматриваемых далее решениях нелинейных задач предполагается малость производных перемещений по координатам начального состояния:
и допускается пренебрежение слагаемыми третьей и более высоких степеней относительно этих величин. Сохраняются их произведения и квадраты.
Будем исходить из закона состояния в форме Фингера (2.4.1) гл. VIII; приняв в качестве материальных декартовы координаты точки в начальном состоянии 
получим
где 
единичный тензор. Базисные векторы 
и 
-объемов равны
Вспомнив определение (5.1.1) гл. II тензора 
имеем
и, далее,
причем 
линейный тензор деформации, 
градиент вектора 
, а индексом 
обозначается операция транспонирования. Вспомнив также (1.2.13) гл. II, а также (1.6.12), имеем
Итак,
и при оговоренных пренебрежениях
Сославшись на формулы
учитывая, что первый инвариант тензора 
равен нулю [поскольку 
- симметричный тензор; см. (1.5.9)], и вспомнив, что 
получаем
Подстановка в (5.1.2) позволяет теперь представить тензор напряжений в виде
Инварианты 
тензора деформации 
определяются по формулам (5.4.3) гл. II:
Как следовало ожидать-, в состав 
входят величины первой, 
второй, 
третьей степени относительно величин (5.1.1). Теперь, сославшись на (2.5.2) гл. VIII, имеем
причем величины во второй и третьей формулах достаточно было выписать с точностью до линейных слагаемых и слагаемых, не содержащих производных перемещений.
Удельная потенциальная энергия деформации аппроксимируется формулой Мурнагана (4.6.1) гл. VIII в предположении, что начальным состоянием является натуральное
Тогда
и вычисленное с точностью до величин второго порядка выражение тензора напряжений приводится к виду
где 
тензор напряжений линейной теории упругости:
Замечая, что
можно представить (5.1.11) также в виде
с тензором 
задаваемым выражением
причем последнее слагаемое может быть записано также в виде
