§ 6. Контактные задачи

6.1. Задача о жестком штампе. Краевое условие.

В контактных задачах теории упругости рассматривается напряженное состояние, возникающее в прижатых друг к другу упругих телах. Одно из тел, в частности, может быть абсолютно твердым (жесткий штамп), а упругое тело представлено упругим полупространством. Решение этой простейшей задачи оказывается при некоторых добавочных предположениях достаточным для построения решения более общей задачи Герца о контакте двух упругих тел.

Плоскость, ограничивающую полупространство, примем за плоскость направив ось внутрь полупространства. Основание, которым штамп прижат к полупространству, может быть или плоским, или иметь форму выпуклой поверхности (рис. 19). Со штампом связывается система осей начало которой расположено на поверхности а ось направлена по нормали к этой поверхности внутрь штампа. В начальном состоянии, пока штамп не нагружен, начала систем осей Охуг, равно как и оси совпадают, тогда как оси имеют прямо противоположные направления; указанные системы осей поэтому разноименны (первая — левая, вторая — правая).

В системе осей уравнение поверхности основания штампа представляется в форме

и при принятом выборе осей

В случае плоского штампа уравнение плоскости, его ограничивающей, будет просто:

При нагружении штамп перемещается, погружаясь в деформируемую им упругую среду; величины, характеризующие перемещение штампа, считаются малыми того же порядка, что и перемещения точек среды.

На плоскости рассматривается область О, содержащая точки, располагающиеся после деформации на смещенной поверхности основания 5 штампа. Как всегда, краевые условия будем относить к недеформированной поверхности упругого тела, то есть к плоскости Основание штампа считается абсолютно гладким; поэтому принимается, что касательные напряжения отсутствуют на всей плоскости

Рис. 19.

Нормальные напряжения отсутствуют на плоскости вне области соприкасания штампа со средой. В точках же области упругая среда подвергается действию сжимающей нагрузки так что

Конечно, функция наперед не задана — это основная неизвестная задачи. Равновесие штампа при условиях (6.1.4), (6.1.5) возможно при действии лишь силы параллельной оси обозначая через координаты точки пересечения линии действия этой силы с плоскостью можно записать следующие уравнения равновесия штампа:

Таковы интегральные условия, которым удовлетворяет неизвестное распределение давления

Переходим к записи краевого условия для перемещения точек области оно должно быть выражено через величины, определяющие перемещение штампа. Под действием силы он

переместится поступательно и совершит поворот. Поступательное перемещение 6 параллельно оси а поворот произойдет вокруг некоторой оси в плоскости через назовем проекции вектора малого поворота. Через три величины могут быть выражены перемещения точек поверхности основания штампа, и требуется составить выражения координат точек этой поверхности в системе осей Таблица косинусов углов осей этой системы с осями будет

Непривычная расстановка знаков в этой таблице обусловлена разноименностью систем осей. В системе осей координаты начала системы осей будут ; поэтому формулы преобразования координат точки на будут

Из равенств (6.1.2) следует, что величина имеет второй порядок малости относительно величин, характеризующих протяженность контактной поверхности; это позволяет пренебречь произведениями в формулах (6.1.7). Тогда

Пусть - точка области которая при деформации перейдет в точку на ;

где, конечно, обозначают проекции перемещения точки на По (6.1.8), (6.1.9) имеем теперь

В последнем из этих равенств пренебрегаем произведениями а также полагаем

Приходим к искомому краевому условию

В случае плоского штампа оно упрощается и принимает вид

Задача о штампе теперь сведена к смешанной краевой задаче теории упругости: во-первых, касательные напряжения обращаются в нуль на всей плоскости во-вторых, вне области этой плоскости обращаются в нуль нормальные напряжения; в-третьих, задано нормальное перемещение точек области Величины наперед неизвестны; для их определения используются уравнения равновесия штампа (6.1.6).

Сказанное можно пояснить еще так: точкам области на плоскости сообщаются нормальные перемещения по заданному закону (6.1.11) или (6.1.12), для чего по площади должно быть распределено нормальное давление по наперед неизвестному закону . В образованную «впадину» вставляется штамп, прижимаемый для сохранения равновесия вертикальной силой

Если пренебречь искажением, вносимым поворотом, то область в случае плоского штампа определяется формой его поперечного сечения, нормального оси ?. На контуре этой области нормальное напряжение разрывно. Для неплоского штампа, поверхность которого не имеет угловых линий непрерывны), контур С области определяется условием, что на нем

Тогда по (6.1.5) нормальное напряжение будет непрерывным на всей плоскости Постановка этого условия диктуется тем, что при отсутствии угловой линии на поверхности штампа среда плавно прилегает к его основанию.

Величина представляет перемещение точек упругой среды вдоль контура С области (на плоскости Погружением штампа в среду следует назвать величину, определяемую равенством [см. (6.1.11)]

выражающим, что перемещение штампа 6 равно сумме его погружения в среду и перемещения ее в точках кривой С.

Штамп должен быть прижат по всей поверхности соприкасания, так что искомое распределение давления удовлетворяет условию

причем равенство выполняется лишь на контуре С области

Это условие накладывает ограничение на расположение линии действия прижимающей штамп силы