1.5. Касательные напряжения

Эти напряжения определяются из третьего уравнения статики и остающихся двух уравнений Бельтрами-Мичелла

Они рассматриваются совместно с краевым условием (1.1.4) на боковой поверхности или, что то же самое, на контуре области

и остающимися интегральными условиями (1.2.3), (1.2.4):

Заметим, что всякое решение уравнений статики в объеме (1.5.1) и на поверхности (1.5.3) удовлетворяет двум первым условиям (1.5.4). Действительно, после умножения на х и интегрирования по площади 5 поперечного сечения имеем, сославшись на (1.1.1), (1.5.1),

Но по (1.5.3) и формуле преобразования поверхностного интеграла в контурный

чем устанавливается первое соотношение (1.5.4); конечно, аналогично приходим ко второму.

Заметим еще, что уравнения (1.5.1) и (1.5.3) непротиворечивы, что следует из соотношений

Ниже доказывается, что дифференциальными уравнениями (1.5.1), (1.5.2) при краевых условиях (1.5.3) и при задании величины крутящего момента касательные напряжения вполне определяются единственным образом. Как видно, здесь нет речи о выполнении предписываемых равенствами (1.1.2) условий на торцах. Можно сказать, что решение задачи в постановке Сен-Венана является строгим решением краевой задачи теории упругости лишь при условии, что нормальные напряжения на торцах распределены в точности по закону (1.4.6), а касательные — по закону, найденному из решения сформулированной выше задачи. Так найденные напряжения образуют, однако, систему поверхностных сил, статически эквивалентную (с тем же главным вектором и с тем же главным моментом) любому предписанному распределению поверхностных сил на торцах. Принцип Сен-Венана отвечает на вопрос, насколько приемлема такая замена одной задачи другой. Об этом принципе упоминалось в п. 7.6 гл. V при постановке задач о равновесии упругого кругового цилиндра. Он формулировался и обсуждался в п. 2.4 гл. IV и п. 1.14 гл. V. Его содержание в применении к задаче Сен-Венана сводится к утверждению, что статически эквивалентные системы сил, распределенных по торцам, составляющим малую часть всей поверхности достаточно длинного стержня, создают в теле стержня напряженные состояния, существенно отличающиеся друг от друга в областях, примыкающих к торцам, и практически одинаковые на достаточном удалении от торцов. В подтверждение можно сослаться на примеры экспоненциального убывания напряжений при удалении от торца, нагруженного статически эквивалентной нулю системой поверхностных сил, в задачах о кручении (п. 7.5 гл. V) кругового цилиндра и об однородных решениях (пп. 7.8, 7.9 гл. V). Но можно привести также пример противоположного характера; таковым является случай кручения стержня с тонкостенным открытым профилем (корытным зетовым Z и т. п.), когда напряженное состояние от статически эквивалентной нулю системы сил распространяется по длине

стержня на значительное расстояние. Принцип Сен-Венана лишен универсальной применимости, но остается незаменимым средством подхода к решению подавляющего числа задач теории упругости.