1.6. Тензоры высших рангов. Свертывание индексов.

Условимся называть скаляр тензором нулевого, вектор — первого ранга. Из трех родов операций над двумя векторами диадного, векторного и скалярного умножения — наиболее общей является первая; с ее помощью из двух тензоров первого ранга образуется тензор второго ранга задаваемый матрицей компонент ранг этого тензора понижается на единицу при сопоставлении ему тензора первого ранга — сопутствующего вектора Он понижается на две единицы (тензор становится скаляром), когда в рассмотрение вводится величина Происходит свертывание по паре индексов

Величина

определяет тензор ранга, если его компоненты (их всего подчиняются при повороте координатной системы закону преобразования

представляющему непосредственное обобщение правила (1.3.6). Ранг тензора снижается на две единицы при каждом свертывании; например, при свертывании по двум последним индексам приходим к тензору

(по индексу суммирование!). Ранг тензора можно понизить на единицу введением «сопутствующего» тензора; одним из них будет тензор

Свертывание тензора второго ранга приводит к скаляру, называемому следом тензора или его первым инвариантом:

В частности, например, для единичного тензора

а для диады

С помощью двух тензоров второго ранга образуются тензоры четвертого ранга; примерами служат

Из них можно образовать тензоры второго ранга при однократном свертывании. В частности, произведением на справа является тензор

При вторичном свертывании приходим к инварианту — следу тензора (1.6.6). Он представляется в виде

Легко проверяется тождество

из которого следует, что тензор симметричен; однако

При приходим к тензору второго ранга, называемому квадратом тензора:

Аналогично представляются более высокие степени тензора, например:

Следы этих тензоров равны

Степени тензора выше второй выражаются через Эта теорема Кейли — Гамильтона доказывается в п. 1.10, 1.12.

Умножение тензора второго ранга справа или слева на единичный тензор приводит к тому же тензору:

Для последующего представит интерес выражение тензора через симметричную часть 5 тензора и сопутствующий вектор Имеем

и, сославшись на (1.4.6), (1.5.8), найдем

а учитывая еще, что получаем по (1.6.8)

и также

Итак,

и аналогично

так что

Примером тензора третьего ранга является тензор Леви-Чивита - его компонентами служат 27 символов Леви-Чивита (отличны от нуля только шесть). Их тензорный характер легко обнаружить, основываясь на определении (1.2.1) и на формулах (1.1.2)

и сославшись на (1.6.2). Величины определяют тензор шестого ранга. Его сворачивание по трем парам индексов приводит к инварианту (1.2.6), по двум парам индексов — по

(1.2.5) к удвоенному единичному тензору, по одной паре индексов — к тензору четвертого ранга (1.2.4).

Изотропным называют тензор, компоненты которого сохраняют неизменные значения во всех координатных системах, получающихся одна по другой преобразованием поворота. Примером изотропного тензора второго ранга может служить произведение скаляра на единичный тензор а произведение скаляра на тензор Леви-Чивита есть изотропный тензор третьего ранга. Можно доказать, что других изотропных тензоров второго и третьего ранга не существует. Наиболее общий вид компонент изотропного тензора четвертого ранга представляется формулой, содержащей три скалярных множителя

При наличии требований симметрии

третье слагаемое в (1.6.15) отпадает