3.5. Плоская контактная задача.
Рассматривается задача о напряженном состоянии в упругой полуплоскости, создаваемом прижатым к ее границе по участку 
жестким гладким штампом.
Принимается, что касательные напряжения отсутствуют на всей границе, а нормальные — вне участка нагружения; на участке нагружения задается перемещение
причем 
определяется формой контактирующей с плоскостью поверхности штампа. Конечно, закон распределения нормальных напряжений на этом участке
представляет основную неизвестную задачи. Известной является прижимающая штамп сила
Сославшись на (3.2.12), можно представить перемещение интегралом
и задача сводится к разысканию из этого интегрального уравнения первого рода неизвестной функции 
подчиненной условию (3.5.2).
В рассмотрение вводится логарифмический потенциал простого слоя, распределенного по отрезку 
с неизвестной плотностью 
Это, как известно, гармоническая в плоскости 
функция, всюду непрерывная; ее нормальная производная испытывает разрыв при переходе с «нижней» стороны слоя на его «верхнюю» сторону; ее предельные значения на слое определяются равенствами
причем 
предполагается непрерывной в точке х.
Поведение логарифмического потенциала простого слоя при 
определяется соотношением
непосредственно следующим из определения (3.5.4) и условия (3.5.2). Обратно, всякая гармоническая функция, обладающая перечисленными свойствами (непрерывность, характер разрыва нормальной производной, поведение на бесконечности), является логарифмическим потенциалом простого слоя; она представима интегралом (3.5.4).
Сославшись на (3.5.4) и (3.5.3), имеем
Задача сведена к разысканию в плоскости 
гармонической функции, принимающей на отрезке 
оси 
заданные значения (3.5.7) и удовлетворяющей условию (3.5.6) на бесконечности. Имея решение этой задачи, можно найти закон распределения давления на участке контакта, используя соотношение (3.5.5).
Функцию 
легко связать с введенной в п. 3.2 гармонической функцией 
через которую по (3.2.4) выражается
функция напряжений. Действительно, по (3.2.4), (3.3.2) и (3.5.4) имеем
так что
Это позволяет выразить напряжения через потенциал 
Через эту же функцию и связанную с ней зависимостями Коши-Римана функцию
выражаются также и перемещения в обобщенном плоском напряженном состоянии
с соответствующими заменами упругих постоянных в случае плоской деформации.
Из формул (3.5.9) следует, что при действии только нормальных к границе поверхностных сил нормальные напряжения 
на границе равны друг другу; на это уже указывалось в п. 3.3 для случая равномерного нагружения участка границы.
