3.5. Мембранная аналогия Прандтля (1904).
Известно, что задача о равновесии мембраны, закрепленной по наружному контуру
и нагруженной поверхностной нагрузкой
сводится к краевой задаче для уравнения Пуассона
Здесь
- прогиб мембраны, а через
обозначена одинаковая интенсивность сил натяжения; это значит, что, вырезав из мембраны произвольную область
ограниченную контуром
следует для сохранения равновесия распределить по этому контуру нормально к нему силы
на единицу длины. По (3.5.1) имеем, считая здесь и далее
постоянным,
— это уравнение равновесия части
мембраны
единичный вектор внешней нормали к
Представим теперь, что закрепленная по контуру
мембрана несет закрепленные на ней твердые диски
ограниченные контурами
диски могут смещаться лишь поступательно в направлении прогиба мембраны (рис. 28). Область
занятая веществом мембраны, теперь ограничена совокупностью
контуров — внешнего
и внутренних
Задача о равновесии сводится к решению в
-связной области
краевой задачи, вполне аналогичной задаче кручения:
где
наперед неизвестные постоянные. Ее решение, подобно (3.3.5), представимо в виде
где
Рис. 28.
Задача о кручении полностью отождествляется с задачей равновесия мембраны, если принять