3.5. Мембранная аналогия Прандтля (1904).

Известно, что задача о равновесии мембраны, закрепленной по наружному контуру и нагруженной поверхностной нагрузкой сводится к краевой задаче для уравнения Пуассона

Здесь - прогиб мембраны, а через обозначена одинаковая интенсивность сил натяжения; это значит, что, вырезав из мембраны произвольную область ограниченную контуром следует для сохранения равновесия распределить по этому контуру нормально к нему силы на единицу длины. По (3.5.1) имеем, считая здесь и далее постоянным,

— это уравнение равновесия части мембраны единичный вектор внешней нормали к

Представим теперь, что закрепленная по контуру мембрана несет закрепленные на ней твердые диски ограниченные контурами диски могут смещаться лишь поступательно в направлении прогиба мембраны (рис. 28). Область занятая веществом мембраны, теперь ограничена совокупностью контуров — внешнего и внутренних Задача о равновесии сводится к решению в -связной области краевой задачи, вполне аналогичной задаче кручения:

где наперед неизвестные постоянные. Ее решение, подобно (3.3.5), представимо в виде

где

Рис. 28.

Задача о кручении полностью отождествляется с задачей равновесия мембраны, если принять

Сопоставление с мембраной делает очевидными результаты проведенного в пп. 3.1-3.4 рассмотрения задачи о кручении. Так, горизонталям рельефа холма, образуемого поверхностью мембраны, соответствует семейство траекторий касательных напряжений горизонтали сгущаются в местах резкого изменения рельефа — это места концентрации напряжений в задаче кручения.

Объем V холма ограничен изогнутой поверхностью мембраны и «плоскогорий», образуемых дисками; поэтому геометрическая жесткость при кручении пропорциональна этому объему:

Простое объяснение приобретает также теорема о циркуляции (3.3.6) — это уравнение равновесия (3.5.2) участка мембраны действительно, по (3.5.2)

что и требовалось.

Применяя теорему взаимности, легко также установить симметричность матрицы коэффициентов системы уравнений (3.3.10); обращаясь к мембране, надо проверить равенство

«Состоянием мембраны с дисками назовем такое, в котором поверхностная нагрузка отсутствует диску сообщено перемещение при этом все прочие диски остаются неподвижными, а мембрана изогнется по закону определяемому решением краевой задачи (3.5.5). Тогда равнодействующая сил натяжения так изогнутой мембраны по контуру диска (уравновешиваемая реакцией закрепления этого диска) окажется пропорциональной Равенство (3.5.7) следует из применения теоремы взаимности к и -состояниям системы. Другое доказательство симметричности матрицы приведено в п. 3.17.