5.7. Определение вектора перемещения по мерам деформации.

По заданной мере деформации (матрице компонент находится тензор (обратная матрица). Этим

определяются символы Кристоффеля второго рода

Конечно, предполагается, что известен метрический тензор -объема и вычисляемые по нему символы Кристоффеля

Теперь, исходя из равенств

имеем

и при обозначении

приходим к системе линейных дифференциальных уравнений относительно тензора

Условия интегрируемости ее следуют из сотоношений

и приводятся к виду

Выполнив дифференцирования (при этом используются формулы дифференцирования базисных векторов и заменив и их значениями (5.7.4), придем к соотношениям, эквивалентным требованию обращения в нуль компонент тензора Риччи (V. 6. 14).

Предположив решение системы уравнений (5.7.5) известным, далее по (5.7.3) находим по его полному дифференциалу

При задании меры деформации (значит, и обратного тензора искомым является вектор определяющий положение точки в -объеме, тогда как ее положение в -объеме и метрический тензор в этом объеме известны — известны (например, положение в -объеме задается декартовыми координатами

Теперь из соотношений

имеем

и система дифференциальных уравнений (5.7.5) заменяется системой

Определив из нее тензор находим по его полному дифференциалу

Вектор перемещения и определяется, конечно, равенством