ПРИЛОЖЕНИЕ V. ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

V.1. Введение базисов.

В отличие от ранее принятого обозначения в этом Приложении декартовы координаты точки обозначаются а вектор-радиус ее — через

Для криволинейных координат сохраняются обозначения Приложения III, так что

причем в области их задания якобиан

отличен от нуля и положителен.

Основной векторный базис определяется тройкой векторов

и соотношениями (IV. 1.2), (IV. 4.5) задается взаимный базис

В рассмотрение вводится метрический тензор

причем величины

представляют его ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты.

Бесконечно малый вектор определяется очевидным равенством

и квадрат его длины — квадрат линейного элемента — выражается через ковариантные компоненты метрического тензора:

С изменением обозначения на далее можно повторить все сказанное в Приложении IV.

Ограничимся приведением выражений элемента объема

и элементов поверхностей

причем

Формулы (V. 1.11) можно представить также в единой записи: