1.4. Нормальное напряжение в задаче Сен-Венана.

Это напряжение может быть определено в общем виде для стержня любого поперечного сечения; уравнений статики здесь недостаточно, надо (решая задачу в напряжениях) обратиться к зависимостям Бельтрами — Мичелла (1.5.9) гл. IV. В них по (1.3.3) сумма нормальных напряжений а заменяется напряжением и по (1.3.1) линейно зависит от :

Из (1.3.1) следует также, что все вторые производные искомых функций по оказываются нулями, так что в оператор Лапласа войдут только производные по

Из трех уравнений Бельтрами — Мичелла (для следует:

а уравнение для по (1.4.1) удовлетворяется тождественно. Итак, о оказывается линейной функцией х, у.

Обратившись к геометрическим и статическим соотношениям (1.1.1), (1.2.3), (1.2.4), теперь легко получим

и поэтому

Пришли к закону распределения нормальных напряжений в упругом стержне, растягиваемом осевой силой и изгибаемом приложенными к торцу моментами и поперечными силами. Величины

представляют изгибающие моменты в сечении 2. В элементарной теории изгиба балок также принимается, что

причем этот закон распределения нормальных напряжений распространяется на случай любого нагружения стержня по боковой поверхности, когда изгибающие моменты произвольным образом зависят от