III.6. Зависимости Ляме.
Соотношения
с помощью деривационных формул (III. 4.7) представляются в виде
или
Полученные дифференциальные соотношения между векторами 
преобразуются в зависимости, связывающие коэффициенты Ляме. Вычислим для этого проекции векторов, входящих в (III. 6.2), на оси триэдра 
По (III. 4.7) имеем
Далее,
и подстановка в (III. 6.3) дает равенство
Конечно, оно удовлетворяется при 
Поэтому далее надо рассмотреть случаи: 
значит, 
.
а) 
Получаем
и, поскольку 
входят симметрично, а 
здесь имеется только три различных соотношения:
б) В случае 
причем 
различны. Получаем еще три соотношения:
Шесть зависимостей Ляме (III. 6.6), (III. 6.8), полученные преобразованием тождества (III. 6.1), тождественно удовлетворяются, если коэффициенты Ляме определены по заданному точечному преобразованию (III. 1.1) с помощью формул (III. 3.2). Обратно, три наперед заданные функции 
являются при выполнении этих зависимостей коэффициентами Ляме для некоторого преобразования, определяемого системой дифференциальных уравнений (III. 3.2); зависимости Ляме представляют условия интегрируемости этой системы.
