4.6. Гидростатическое напряженное состояние.

В этом наиболее простом случае

Удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как функцию от зависящую от этого аргумента через инварианты

Поэтому

и, далее, по (4.4.8), (4.4.9)

Теперь выражение (4.4.11) тензора и дифференциальное уравнение равновесия записываются в виде

Эта форма уравнений равновесия подсказывает целесообразность ввести обозначения приведенных коэффициентов Ляме

Тогда эти уравнения примут известный вид уравнений равновесия в перемещениях линейно-упругого изотропного тела

а выражение тензора 0 представляется в виде

откуда снова приходим к (4.6.7).

Из формул (4.6.6) находим также

Но, введя в рассмотрение переменную равную отношению объема тела при гидростатическом сжатии к начальному объему имеем

и, сославшись на (1.2.3), приходим к соотношению

выражающему «приведенный» модуль объемного сжатия через вторую производную удельной потенциальной энергии деформации по параметру, определяющему отношение объемов.

При учете соотношений (4.6.3), (4.6.6) квадратичная форма (4.5.4) преобразуется к виду

Здесь

— выражение удельной потенциальной энергии линейно-упругого изотропного тела с «приведенными» коэффициентами Ляме.

Из (4.5.3) теперь следует, что при наличии «следящего давления» и при условиях знакоопределенности А перемещение не может отличаться от перемещения твердого тела. Эти условия в соответствии с (4.6.6), (4.6.10) и (3.3.5) гл. IV приводят к неравенствам

Первое из них представляется интуитивно естественным требованием к поведению упругого материала — темп роста потенциальной энергии деформации увеличивается при росте деформации.

Было показано (п. 2.9 гл. VIII), что одним из условий положительности А в области достаточно малых деформаций

(при 1) служит неравенство (2.9.8) гл. VIII. Можно предположить, что оно выполняется и при немалых деформациях:

Второе неравенство (4.6.12) выражает, что эта величина, характеризующая материал, а при гидростатическом сжатии являющаяся функцией давления, не только положительна, но и превосходит приложенное давление

Даже при сверхвысоких давлениях не наблюдалось потери простейшей формы равновесия гидростатически сжатого тела. Задание выражения удельной потенциальной энергии, описывающей поведение материала, должно удовлетворять этим требованиям.

Например, удельная потенциальная энергия деформации в упрощенном законе состояния Синьорини по (4.1.7), (4.1.8) гл. VIII задается выражением

и вычисление по формулам (4.6.12) приводит к следующим соотношениям связи между «приведенными коэффициентами Ляме» и «коэффициентами Ляме» закона состояния Синьорини:

Конечно, при Здесь так как