3.6. Вычисление вектора перемещения.
Формулами (3.5.5), (3.5.7) определены сумма нормальных напряжений и вектор напряжения на любой концентрической с О поверхности сферы
Более сложно находится вектор перемещения. Используя формулы
по (3.1.10) и (3.1.6) найдем
откуда, учитывая еще, что
и вспомнив (3.5.4), найдем при
Полагая теперь в (3.1.10)
и снова применив (3.1.6), получим
так что
Исключив теперь
с помощью (3,6.2), а
- по (3.5.4), придем к равенству
и по (3.1.1), (3.5.4) вектор перемещения оказывается равным
Очевидно, что слагаемое, соответствующее
входит в выражение вектора перемещения сферы как твердого тела. Слагаемое
представляет вектор, линейно зависящий от координат; оно может быть представлено произведением
где А — постоянный тензор второго ранга, который можно считать симметричным
так как присутствие в нем кососимметричной части добавило бы к вектору лишь слагаемое
входящее в произвольно добавляемый вектор перемещения твердого тела. Вычисляемый по их тензор напряжения
равен
так что
Первый инвариант тензора А определяем по (3.6.6), (3.5.7):
так что
В случае внешней задачи, изменив
на
в формуле (3.6.3), имеем
для всех
вектор перемещения определяется формулой