3.6. Вычисление вектора перемещения.

Формулами (3.5.5), (3.5.7) определены сумма нормальных напряжений и вектор напряжения на любой концентрической с О поверхности сферы Более сложно находится вектор перемещения. Используя формулы

по (3.1.10) и (3.1.6) найдем

откуда, учитывая еще, что

и вспомнив (3.5.4), найдем при

Полагая теперь в (3.1.10)

и снова применив (3.1.6), получим

так что

Исключив теперь с помощью (3,6.2), а - по (3.5.4), придем к равенству

и по (3.1.1), (3.5.4) вектор перемещения оказывается равным

Очевидно, что слагаемое, соответствующее входит в выражение вектора перемещения сферы как твердого тела. Слагаемое представляет вектор, линейно зависящий от координат; оно может быть представлено произведением

где А — постоянный тензор второго ранга, который можно считать симметричным так как присутствие в нем кососимметричной части добавило бы к вектору лишь слагаемое

входящее в произвольно добавляемый вектор перемещения твердого тела. Вычисляемый по их тензор напряжения равен

так что

Первый инвариант тензора А определяем по (3.6.6), (3.5.7):

так что

В случае внешней задачи, изменив на в формуле (3.6.3), имеем

для всех вектор перемещения определяется формулой