4.2. Изгиб стержня эллиптического поперечного сечения.
Вследствие симметрии достаточно рассмотреть случай силы, параллельной оси х, а линию действия силы совместить с осью
в противном случае на задачу изгиба наложится уже известное решение задачи кручения
. Распределение касательных напряжений по (2.1.1), (2.1.6), (2.1.7) задается при несущественном изменении обозначений соотношениями
причем функция напряжений
определяется решением задачи Неймана для уравнения Лапласа:
На контуре эллипса (3.6.1)
Нетрудно сообразить, что краевому условию (4.2.2) можно удовлетворить, задавая гармоническую функцию (она должна быть нечетной по
в виде
Действительно, тогда
и условие (4.2.2) можно записать в виде
Справа добавлено слагаемое, обращающееся в нуль на эллипсе; три постоянных
разыскиваются из уравнений
так что по (4.2.4)
и касательные напряжения определяются по формулам
Вдоль полуоси
напряжение
распределено по параболическому закону
Среднее значение этого напряжения определяется выражением
не зависящим, как следовало ожидать, от коэффициента Пуассона и вычисляемым по элементарной теории [см. (4.1.6)]. Однако отклонение от среднего значения, зависящее от
и от отношения полуосей эллипса, может быть значительным. Например, при
это отклонение
при
достигает 20%.