4.2. Изгиб стержня эллиптического поперечного сечения.

Вследствие симметрии достаточно рассмотреть случай силы, параллельной оси х, а линию действия силы совместить с осью в противном случае на задачу изгиба наложится уже известное решение задачи кручения . Распределение касательных напряжений по (2.1.1), (2.1.6), (2.1.7) задается при несущественном изменении обозначений соотношениями

причем функция напряжений определяется решением задачи Неймана для уравнения Лапласа:

На контуре эллипса (3.6.1)

Нетрудно сообразить, что краевому условию (4.2.2) можно удовлетворить, задавая гармоническую функцию (она должна быть нечетной по в виде

Действительно, тогда

и условие (4.2.2) можно записать в виде

Справа добавлено слагаемое, обращающееся в нуль на эллипсе; три постоянных разыскиваются из уравнений

так что по (4.2.4)

и касательные напряжения определяются по формулам

Вдоль полуоси напряжение распределено по параболическому закону

Среднее значение этого напряжения определяется выражением

не зависящим, как следовало ожидать, от коэффициента Пуассона и вычисляемым по элементарной теории [см. (4.1.6)]. Однако отклонение от среднего значения, зависящее от и от отношения полуосей эллипса, может быть значительным. Например, при это отклонение

при достигает 20%.