1.11. Представление бигармонической функции.
Конечно, гармоническая функция является также и бигармонической. Непосредственной проверкой легко установить, что функции
где
- гармонические функции, удовлетворяют бигармоническому уравнению. Достаточно для этого вспомнить выражение лапласиана произведения (II. 4.20):
Поэтому, например,
и, далее,
что и требовалось.
Из сказанного следует, что
являются бигармоническими функциями; ниже станет ясным и обратное предложение: любая бигармоническая функция представима в одном из этих видов (см. замечание в п. 1.14).
Покажем, например, что бигармоническая функция
представима в первом из указанных видов. Достаточно для этого ввести в рассмотрение гармоническую функцию
связанную с
условиями Коши — Римана
Теперь, приняв обозначения
причем
гармонические функции, имеем
что и требовалось.
При решении плоских задач в декартовых координатах гармонические функции часто выбираются в форме однородных гармонических полиномов, равных вещественной
или мнимой части
степеней
Поэтому однородный бигармонический полином
степени представим в видах
и т. д. Конечно, любой полином ниже четвертой степени — бигармонический.
При использовании полярных координат, заменив комплексное переменное z его выражением через модуль и аргумент, приходим к представлениям бигармонических функций
Само собой разумеется, что сказанным не исчерпывается многообразие решений бигармонического уравнения.