1.11. Представление бигармонической функции.

Конечно, гармоническая функция является также и бигармонической. Непосредственной проверкой легко установить, что функции

где - гармонические функции, удовлетворяют бигармоническому уравнению. Достаточно для этого вспомнить выражение лапласиана произведения (II. 4.20):

Поэтому, например,

и, далее,

что и требовалось.

Из сказанного следует, что

являются бигармоническими функциями; ниже станет ясным и обратное предложение: любая бигармоническая функция представима в одном из этих видов (см. замечание в п. 1.14).

Покажем, например, что бигармоническая функция представима в первом из указанных видов. Достаточно для этого ввести в рассмотрение гармоническую функцию связанную с условиями Коши — Римана

Теперь, приняв обозначения причем гармонические функции, имеем

что и требовалось.

При решении плоских задач в декартовых координатах гармонические функции часто выбираются в форме однородных гармонических полиномов, равных вещественной или мнимой части степеней

Поэтому однородный бигармонический полином степени представим в видах

и т. д. Конечно, любой полином ниже четвертой степени — бигармонический.

При использовании полярных координат, заменив комплексное переменное z его выражением через модуль и аргумент, приходим к представлениям бигармонических функций

Само собой разумеется, что сказанным не исчерпывается многообразие решений бигармонического уравнения.