2.7. Случай установившейся температуры.
В установившемся режиме температура
гармоническая в полупространстве
функция; предполагается известным ее значение на границе
Поэтому, введя в рассмотрение потенциал простого слоя с плотностью
можно записать решение задачи теплопроводности для полупространства в виде
Действительно, определяемая этим равенством функция — гармоническая; она удовлетворяет краевому условию (2.7.1), что следует из (2.3.6).
Переходя к решению задачи теории упругости, удержим в решении Папковича — Нейбера (1.4.10) гл. IV две гармонические функции
причем последним слагаемым учитывается наличие температурного поля, а функция, обозначенная здесь
представляет частное решение уравнения (1.14.8) гл. IV:
Компоненты напряжения на площадках, перпендикулярных оси
вычисляемые по (2.4.1) с учетом в (2.7.4) слагаемого
оказываются равными
где для краткости принято
Оказывается возможным распорядиться выбором
так, чтобы обратить
в нуль. Для этого примем
Из первого равенства и из (2.7.5), (2.7.3) имеем
и, поскольку
гармоническая функция, такой выбор
возможен. Возвращаясь к формулам (2.7.6), приходим к результату, возможность которого было трудно предвидеть: при установившемся тепловом режиме полупространства отсутствуют температурные напряжения на плоскостях, параллельных его границе:
Теперь находим по (2.7.8) и (2.7.2)
и, сославшись на (2.7.4), можно записать выражения проекций вектора перемещения:
Через эту же гармоническую функцию
определяется
температура:
Выражения отличных от нуля компонент тензора напряжения, вычисляемого по (1.14.1) гл. IV, записываются в виде