2.7. Случай установившейся температуры.

В установившемся режиме температура гармоническая в полупространстве функция; предполагается известным ее значение на границе

Поэтому, введя в рассмотрение потенциал простого слоя с плотностью

можно записать решение задачи теплопроводности для полупространства в виде

Действительно, определяемая этим равенством функция — гармоническая; она удовлетворяет краевому условию (2.7.1), что следует из (2.3.6).

Переходя к решению задачи теории упругости, удержим в решении Папковича — Нейбера (1.4.10) гл. IV две гармонические функции

причем последним слагаемым учитывается наличие температурного поля, а функция, обозначенная здесь представляет частное решение уравнения (1.14.8) гл. IV:

Компоненты напряжения на площадках, перпендикулярных оси вычисляемые по (2.4.1) с учетом в (2.7.4) слагаемого оказываются равными

где для краткости принято

Оказывается возможным распорядиться выбором так, чтобы обратить в нуль. Для этого примем

Из первого равенства и из (2.7.5), (2.7.3) имеем

и, поскольку гармоническая функция, такой выбор возможен. Возвращаясь к формулам (2.7.6), приходим к результату, возможность которого было трудно предвидеть: при установившемся тепловом режиме полупространства отсутствуют температурные напряжения на плоскостях, параллельных его границе:

Теперь находим по (2.7.8) и (2.7.2)

и, сославшись на (2.7.4), можно записать выражения проекций вектора перемещения:

Через эту же гармоническую функцию определяется

температура:

Выражения отличных от нуля компонент тензора напряжения, вычисляемого по (1.14.1) гл. IV, записываются в виде