ЧАСТЬ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

ГЛАВА I. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

§ 1. Поле напряжений в сплошной среде

1.1. Координатные системы в механике сплошной среды.

Сплошная среда характеризуется наличием в любом ее элементарном объеме массы коэффициент пропорциональности плотность, считается непрерывной функцией координат точек среды.

Принимается, что под влиянием внешних воздействий ранее находившаяся в равновесии сплошная среда в объеме ограниченном поверхностью о, пришла в новое состояние равновесия, в котором объем станет равным ограничивающую этот объем поверхность назовем О. Первое состояние среды назовем начальным (у-объём), второе — конечным -объем). В дальнейшем будет иметь значение рассмотрение также натурального состояния среды. Это — то состояние, в котором среда не напряжена; оно, пока не оговорено противное, не отождествляется с начальным состоянием.

Вводится декартова система осей положение точки среды в начальном состоянии задается в этой системе ее декартовыми координатами или вектор-радиусом

где единичные векторы координатных осей. В конечном состоянии эта точка занимает положение определяемое в той же системе осей координатами или вектор-радиусом

Геометрическая разность определяет вектор перемещения точки обозначаемый и:

Проекции вектора перемещения, называемые перемещениями, рассматриваются как функции координат точек среды в ее начальном состоянии, непрерывные вместе с их производными по этим переменным до требующихся в проводимом исследовании порядков. Предполагается также, что уравнения (1.1.3) разрешимы, и единственным образом, относительно переменных

причем здесь рассматриваются уже как функции координат конечного состояния. Условием однозначной разрешимости системы уравнений (1.1.3) является необращение в нуль якобиана

в замкнутой области Принимается, что в противном случае можно было бы изменить нумерацию переменных. Якобиан представляет, как известно, отношение элементов объема среды в конечном и начальном состояниях:

По закону сохранения массы

так что

Декартовы координаты точки среды в ее начальном состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые этой точке и поэтому сохраняемые за нею в конечном состоянии среды; в этом состоянии им приписывается роль криволинейных координат; например, точки среды, располагавшиеся в у-объеме

на прямой параллельной оси в V-объеме расположатся на кривой

По установившейся терминологии называют лагранжевыми, эйлеровыми координатами. Лучше сказать, что материальные координаты, индивидуализирующие точку и отличающую ее от других точек, координаты ее места в V-объеме.

Квадрат линейного элемента — расстояния между двумя бесконечно близкими точками в v-объеме равный

в V-объеме, когда точки займут положения станет равным

В дальнейшем для сокращения речи применяются термины v-метрика и V-метрика в зависимости от того, какое определение квадрата линейного элемента — (1.1.9) или -принято в данном рассмотрении. Конечно, обе метрики евклидовы

Замечания. 1. Строгое различение начального и конечного состояний необходимо при рассмотрении конечных деформаций сплошной среды. В линейной теории упругости эта необходимость, как правило, отпадает.

2. Не обязательно за материальные координаты точек среды принимать их декартовы координаты в начальном состоянии. Изложение основ механики сплошной среды приобретает большую стройность, если в качестве материальных координат точки принять любые криволинейные координаты тройку чисел, сопоставляемых этой точке по некоторому закону. Тогда

равно как и

следует рассматривать как координаты места и вектор-радиус в и соответственно в V-объеме.