Геометрическая разность
определяет вектор перемещения точки
обозначаемый и:
Проекции
вектора перемещения, называемые перемещениями, рассматриваются как функции координат точек среды
в ее начальном состоянии, непрерывные вместе с их производными по этим переменным до требующихся в проводимом исследовании порядков. Предполагается также, что уравнения (1.1.3) разрешимы, и единственным образом, относительно переменных
причем здесь
рассматриваются уже как функции координат
конечного состояния. Условием однозначной разрешимости системы уравнений (1.1.3) является необращение в нуль якобиана
в замкнутой области
Принимается, что
в противном случае можно было бы изменить нумерацию переменных. Якобиан представляет, как известно, отношение элементов объема среды в конечном и начальном состояниях:
По закону сохранения массы
так что
Декартовы координаты
точки среды в ее начальном состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые этой точке и поэтому сохраняемые за нею в конечном состоянии среды; в этом состоянии им приписывается роль криволинейных координат; например, точки среды, располагавшиеся в у-объеме
на прямой
параллельной оси
в V-объеме расположатся на кривой
По установившейся терминологии
называют лагранжевыми,
эйлеровыми координатами. Лучше сказать, что
материальные координаты, индивидуализирующие точку и отличающую ее от других точек,
координаты ее места в V-объеме.
Квадрат линейного элемента — расстояния между двумя бесконечно близкими точками
в v-объеме равный
в V-объеме, когда точки займут положения
станет равным
В дальнейшем для сокращения речи применяются термины v-метрика и V-метрика в зависимости от того, какое определение квадрата линейного элемента — (1.1.9) или
-принято в данном рассмотрении. Конечно, обе метрики евклидовы
Замечания. 1. Строгое различение начального и конечного состояний необходимо при рассмотрении конечных деформаций сплошной среды. В линейной теории упругости эта необходимость, как правило, отпадает.
2. Не обязательно за материальные координаты точек среды принимать их декартовы координаты
в начальном состоянии. Изложение основ механики сплошной среды приобретает большую стройность, если в качестве материальных координат точки принять любые криволинейные координаты
тройку чисел, сопоставляемых этой точке по некоторому закону. Тогда
равно как и
следует рассматривать как координаты места и вектор-радиус в
и соответственно в V-объеме.