3.3. Общий случай нормального нагружения.

Решение п. 3.2 легко обобщается на случай нормального нагружения границы упругой полуплоскости по любому закону

Действительно, напряженное состояние, создаваемое единичной силой, сосредоточенной не начале координат, а в точке определяется по (3.2.6) функцией напряжений

Поэтому, суммируя действия элементарных нагружений по участку границы, придем к выражению функции напряжений в виде

Пусть, в частности, поместив начало координат в середине участка нагружения, имеем

Через назовем вектор-радиус точки наблюдения с началом в точке «истока» вектор-радиусы при — их начала расположены в концах участка нагружения. Углы векторов с осью обозначаются Тогда (рис. 41)

и, далее,

Рис. 41.

Интегрируя по частям, найдем

и это выражение преобразуется к виду

причем, конечно, линейное по у слагаемое может быть откинуто. Напряженное состояние может быть определено суммой состояний, вычисляемых с помощью формул (1.10.2) в системах полярных координат с центрами в концах участка нагружения.

Называя через системы единичных векторов, определяющих эти координатные системы, имеем

Связь между векторами этих систем дается очевидными равенствами

Отсюда получаем

и выражение тензора напряжений в системе представляется в виде

Главные напряжения определяются по уравнению (2.1.5) гл. I

и оказываются равными

а главные оси направлены под углами и к оси

На оси границе полуплоскости — вне и внутри участка нагружения; этим подтверждается отсутствие касательных напряжений на всей границе; нормальные напряжения на границе равны друг другу; они обращаются в нуль вне и равны внутри участка нагружения.