3.3. Общий случай нормального нагружения.
Решение п. 3.2 легко обобщается на случай нормального нагружения границы упругой полуплоскости по любому закону
Действительно, напряженное состояние, создаваемое единичной силой, сосредоточенной не
начале координат, а в точке
определяется по (3.2.6) функцией напряжений
Поэтому, суммируя действия элементарных нагружений
по участку
границы, придем к выражению функции напряжений в виде
Пусть, в частности,
поместив начало координат в середине участка нагружения, имеем
Через
назовем вектор-радиус точки наблюдения
с началом в точке «истока»
вектор-радиусы
при
— их начала расположены в концах участка нагружения. Углы векторов
с осью
обозначаются
Тогда (рис. 41)
и, далее,
Рис. 41.
Интегрируя по частям, найдем
и это выражение преобразуется к виду
причем, конечно, линейное по у слагаемое может быть откинуто. Напряженное состояние может быть определено суммой состояний, вычисляемых с помощью формул (1.10.2) в системах полярных координат с центрами в концах участка нагружения.
Называя через
системы единичных векторов, определяющих эти координатные системы, имеем
Связь между векторами этих систем дается очевидными равенствами
Отсюда получаем
и выражение тензора напряжений в системе
представляется в виде
Главные напряжения определяются по уравнению (2.1.5) гл. I
и оказываются равными
а главные оси направлены под углами
и
к оси
На оси
границе полуплоскости —
вне и
внутри участка нагружения; этим подтверждается отсутствие касательных напряжений
на всей границе; нормальные напряжения
на границе равны друг другу; они обращаются в нуль вне и равны
внутри участка нагружения.