§ 2. Балка и брус с круговой осью

2.1. Постановка плоской задачи о балке и плите.

Рассматривается обобщенное плоское напряженное состояние в прямоугольной полосе длины I и высоты Принимается, что и это делает приемлемой, в соответствии с принципом Сен-Венана, допустимость точного выполнения краевых условий только на длинных сторонах прямоугольной области и замену распределения поверхностных сил на коротких сторонах статически эквивалентным распределением — продольной и поперечной силами и изгибающим моментом Поперечное сечение балки представляет прямоугольник толщиной и высотой причем что позволяет ограничиться рассмотрением средних значений напряжений и перемещений по толщине балки. Принятая постановка задачи применима также к задаче о плоской деформации плиты, теоретически бесконечно протяженной по оси когда закон нагружения ее граней не зависит от Размер по оси не фигурирует в дальнейшем изложении, он может быть принят равным единице длины. Переход к формулам задачи о плите от формул рассматриваемой далее задачи о балке осуществляется в соответствии с правилом (1.6.5) путем замены

При этом, поскольку значение модуля сдвига в этом переходе сохраняется,

В дальнейшем продольные стороны балки называем верхней и нижней, а поперечные сечения торцами (левым и правым).

Условия нагружения сторон балки записываются в виде

где функции заданы при Следуя принятому в строительной механике приему разложения нагрузки

на симметричную и кососимметричную части, введем в рассмотрение функции

Это позволяет разбить задачу на две, называемые далее задачами А и Б:

Наложение решений этих задач приводит, что нетрудно проверить, к задаче с заданными краевыми условиями (2.1.3).

Рис. 38.

В задаче А нормальные поверхностные силы на верхней и нижней сторонах имеют противоположные направления (растяжение по оси у при а касательные — одинаковые направления (растяжение по оси х при . В задаче нормальные поверхностные силы на верхней и нижней сторонах направлены одинаково (вверх, то есть по оси у при а касательные — противоположно (при вправо). В задаче А перемещение и четно, нечетно по у, конечно, и нечетно, четно по у в задаче Задачу А следует назвать задачей растяжения, изгиба (рис. 38).

Система поверхностных сил на части балки статически эквивалентна продольной и поперечной силам

и изгибающему моменту относительно точки

В частности, на правом торце

и чтобы сделать этот торец свободным от нагружения в смысле Сен-Венана, надо приложить к нему силы и момент