2.3. Упругая линия.

Перемещения точек оси стержня — его упругую линию — найдем, приняв в (2.2.9). Вспомнив еще, что гармонические функции согласно (2.1.7), (2.1.14) определяются решением задачи Неймана с точностью до аддитивной постоянной, можем принять

Получаем следующие уравнения упругой линии:

Это — формулы элементарной теории изгиба и растяжения стержня. Входящие в них постоянные следует определить по

краевым условиям на левом торце стержня. Примем, что его центр инерции не смещается; тогда

и далее,

Будем считать торец стержня «заделанным». Решение Сен-Венана, в котором можно распорядиться тремя постоянными позволяет в задаче изгиба трактовать термин «заделка» двумя способами. Первый принят в элементарной теории; предполагается, что закрепление не допускает поворота касательной к упругой линии стержня в месте заделки:

Этим определяются и по (2.3.3), (2.3.4) получаем известные в элементарной теории изгиба уравнения упругой линии и выражения прогибов конца оси стержня:

Во втором понимании считают, что закрепление не допускает смещений вдоль оси стержня элементов поперечного сечения примыкающих к центру инерции сечения:

По (2.2.4) эти условия могут быть записаны в виде

где - касательные напряжения в центре инерции поперечного сечения. Уравнения упругой линии теперь должны быть дополнены слагаемыми

и величины прогибов с «поправкой на сдвиг» будут