3.2. Удельная потенциальная энергия деформации линейноупругого тела.

Ее выражение по (2.4.2) и (2.4.4) в изотермическом и с заменой на в адиабатическом процессах записывается в виде

или, если использовать формулы преобразования (, и ввести модули в виде

Учитывая теперь, что

приходим к следующему выражению удельной потенциальной энергии деформации через компоненты тензора обозначаемому далее

В рассматриваемых процессах, напомним, вариация удельной потенциальной энергии (равная вариации свободной энергии в

первом из них и внутренней энергии — во втором) равна элементарной работе внешних сил и может быть по (1.2.1) записана в виде

Из этого представления следуют формулы

выполняющиеся не только для изотропного линейно-упругого тела, но и для всякой среды, когда может быть введено понятие о потенциальной энергии деформации как функции от компонент деформации, определяемой работой внешних сил.

В линейно-упругом (гуковом) теле А—однородная квадратичная форма компонент деформации, и по известной теореме Эйлера

Пришли к билинейному представлению удельной потенциальной энергии (в этом представлении она будет обозначаться

Из него, использовав закон Гука в форме (3.1.13), получим выражение удельной потенциальной энергии деформации через тензор напряжений, обозначаемое

или, в развернутой форме,

Соосные тензоры входят вполне равноправно в билинейное выражение удельной потенциальной энергии деформации (3.2.6);

поэтому, наряду с (3.2.4), может быть записано представление ее вариации в виде

Отсюда получаем соотношения, обратные (3.2.5):

справедливые, однако, как и (3.2.6), только для гукова тела.