§ 4. Упругий клин

4.1. Сосредоточенная сила в вершине клина.

Рассматриваемая клинообразная бесконечная область ограничена двумя полупрямыми под углом ; ось направлена внутрь этой области, а начало координат (вершина клина) принято за начало полярной системы координат так что Проекции силы, приложенной в вершине клина, на оси обозначаются грани клина предполагаются ненагруженными:

Можно удовлетворить этим условиям, предположив, что они выполняются не только на границах, но и во всей области:

Напряжение при этих условиях будет гармонической в области функцией, так как

Требуется также выполнить при всяком уравнений статики

выражающих условия равновесия части клина, отсеченной дугой радиуса Этим соотношениям можно удовлетворить при любом предположив обратно пропорциональным поскольку гармоническая функция, следует принять

Отличающихся от нее других гармонических функций, удовлетворяющих условиям (4.1.4), не существует. Определив по этим условиям постоянные найдем

Напряжение всюду (при ) конечно (корни знаменателей, исключая нулевые, все комплексны) и стремится к нулю на бесконечности Функция напряжений представляется в виде

По ней определяется вектор перемещения (для плоского напряженного состояния):

При возвращаемся к случаю полуплоскости, нагруженной сосредоточенной силой; дает решение задачи о напряженном состоянии в плоскости, разрезанной по отрицательной оси когда сила приложена в вершине разреза.

С целью сравнения с элементарной теорией изгиба балки примем в выражениях компонент тензора напряжений (при

где I — момент инерции поперечного сечения его площадь. Придем к формулам

и при достаточно малых а, полагая

получим

Выражения нормальных напряжений в этом приближении совпадают с даваемыми элементарной теорией, тогда как

вдвое больше определяемых этой теорией максимальных напряжений.