1.4. Равновесие элементарного тетраэдра.

Предположение о линейной связи векторов силы и ориентированной площадки заменим предположением, что эта связь задается более общим соотношением

Надо доказать, что линейная операция над вектором . С этой целью рассматривается равновесие выделенного из среды элементарного тетраэдра с вершиной в точке О и ребрами

О задаваемыми векторами где k — масштабный малый параметр. Направленные вовне тетраэдра векторы ориентированных площадок и (рис. 2) равны

Правая часть легко проверяемого тождества

пропорциональна и направлена противоположно вектору вовне тетраэдра ориентированной площадки

Итак,

Выражая теперь, что главный вектор приложенных к тетраэдру поверхностных и массовых сил равен нулю, имеем

Последнее слагаемое пропорционально элементарному объему:

и оно должно быть отброшено, так как при прочие слагаемые пропорциональны Итак,

Учитывая (1.4.2), (1.4.3), а также соотношение (1.3.1), переписываемое в виде

можно равенству (1.4.1) придать теперь вид

чем и доказывается линейность функциональной зависимости (1.4.1). Пришли к основному для всего построения механики сплошной среды соотношению (1.3.2), дающему определение тензора напряжений

В координатном представлении согласно (1.3.2) и (1.4.2) оно записывается в виде

Полагая так что получим вектор силы, действующей на площадку с внешней нормалью и отнесенной к единице площади. Назовем его вектором напряжения его проекции на оси системы равные называются напряжениями: нормальным; касательными. Аналогично вводятся векторы напряжения на площадках, нормалями которых служат единичные векторы координатных осей . В матрице компонент тензора

диагональные элементы представляют нормальные, а недиагональные — касательные напряжения. На рис. 3 изображен

выделенный из среды элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям, и показаны напряжения на его гранях с нормалями, сонаправленными с этими осями.

Замечания. 1. Соотношения (1.4.5), полученные рассмотрением равновесия элементарного тетраэдра (с ребрами, направленными параллельно координатным осям), впервые сформулировал Коши в 1827 г.

2. Можно лишь условно в выбранной координатной системе называть напряжения проекциями «вектора» так как эти величины при повороте координатной системы преобразуются как компоненты тензора, а отнюдь не компоненты вектора.

Рис. 3.

Квазивекторы [см. (1.5.12)] могут быть введены в диадное представление тензора напряжений:

3. На рис. 3 были показаны напряжения на гранях с внешними нормалями, сонаправленными с координатными осями, в предположении, что Поскольку то на грани с нормалью положительные ориентируются по направлениям Отсюда следует, что положительные нормальные напряжения — растягивающие, а отрицательные — сжимающие; моменты положительных касательных напряжений на гранях относительно оси имеют знак символа Леви-Чивита (см. 1.1.2).

4. В технической литературе по теории упругости теперь общеприняты обозначения нормальных и касательных напряжений буквами с соответствующими индексами, так что матрица тензора представляется в виде

Эти обозначения мы будем применять наряду с обозначениями (1.4.6). Существует ряд других систем обозначений, например: