1.4. Равновесие элементарного тетраэдра.
Предположение о линейной связи векторов силы
и ориентированной площадки
заменим предположением, что эта связь задается более общим соотношением
Надо доказать, что
линейная операция над вектором
. С этой целью рассматривается равновесие выделенного из среды элементарного тетраэдра с вершиной в точке О и ребрами
О
задаваемыми векторами
где k — масштабный малый параметр. Направленные вовне тетраэдра векторы ориентированных площадок
и
(рис. 2) равны
Правая часть легко проверяемого тождества
пропорциональна и направлена противоположно вектору
вовне тетраэдра ориентированной площадки
Итак,
Выражая теперь, что главный вектор приложенных к тетраэдру поверхностных и массовых сил равен нулю, имеем
Последнее слагаемое пропорционально элементарному объему:
и оно должно быть отброшено, так как при
прочие слагаемые пропорциональны
Итак,
Учитывая (1.4.2), (1.4.3), а также соотношение (1.3.1), переписываемое в виде
можно равенству (1.4.1) придать теперь вид
чем и доказывается линейность функциональной зависимости (1.4.1). Пришли к основному для всего построения механики сплошной среды соотношению (1.3.2), дающему определение тензора напряжений
В координатном представлении согласно (1.3.2) и (1.4.2) оно записывается в виде
Полагая
так что
получим вектор силы, действующей на площадку с внешней нормалью
и отнесенной к единице площади. Назовем его вектором напряжения
его проекции на оси системы
равные
называются напряжениями:
нормальным;
касательными. Аналогично вводятся векторы напряжения
на площадках, нормалями которых служат единичные векторы координатных осей
. В матрице компонент тензора
диагональные элементы представляют нормальные, а недиагональные — касательные напряжения. На рис. 3 изображен
выделенный из среды элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям, и показаны напряжения на его гранях с нормалями, сонаправленными с этими осями.
Замечания. 1. Соотношения (1.4.5), полученные рассмотрением равновесия элементарного тетраэдра (с ребрами, направленными параллельно координатным осям), впервые сформулировал Коши в 1827 г.
2. Можно лишь условно в выбранной координатной системе называть напряжения
проекциями «вектора»
так как эти величины при повороте координатной системы преобразуются как компоненты тензора, а отнюдь не компоненты вектора.
Рис. 3.
Квазивекторы
[см. (1.5.12)] могут быть введены в диадное представление тензора напряжений:
3. На рис. 3 были показаны напряжения
на гранях с внешними нормалями, сонаправленными с координатными осями, в предположении, что
Поскольку
то на грани с нормалью
положительные
ориентируются по направлениям
Отсюда следует, что положительные нормальные напряжения — растягивающие, а отрицательные — сжимающие; моменты положительных касательных напряжений
на гранях
относительно оси
имеют знак символа Леви-Чивита
(см. 1.1.2).
4. В технической литературе по теории упругости теперь общеприняты обозначения нормальных и касательных напряжений буквами
с соответствующими индексами, так что матрица тензора
представляется в виде
Эти обозначения мы будем применять наряду с обозначениями (1.4.6). Существует ряд других систем обозначений, например: