5.5. Напряжения

Рассмотрению подлежат уравнения статики в объеме (5.1.13), на поверхности (5.1.16), зависимости (5.2.2), определяющие соотношения и интегральные условия (5.1.10).

По (5.4.1), заменив сопряженными с ними гармоническими функциями [см. (2.1.9)] и введя с помощью соотношении (2.1.10), (2.1.12) функцию можно первую группу, уравнений записать в виде

Этим уравнениям можно удовлетворить, приняв

где введена известная в плоской задаче теории упругости функция напряжений Эри (п. 1.2 гл. VII).

После подстановки этих выражений в зависимости Бельтрами и несложных преобразований придем к соотношениям

где бигармонический оператор — двукратно примененный плоский оператор Лапласа. Вместе с тем по (5.2.6),

Поэтому, сложив первое и второе уравнения (5.5.3) и учитывая, что - гармоническая функция, придем к бигармоннческому дифференциальному уравнению

для функции Эри. Краевые условия, определяющие эту функцию, учитывая соотношения

можно записать в виде

где по (5.1.16), (5.5.2)

Нетрудно проверить, что (в случае односвязнон области)

чем гарантируется однозначность заданий производных функции Эри на контуре. Действительно, по (5.1.3) и преобразуя контурные интегралы, имеем

и теперь по (2.1.9), (2.1.11), (2.1.12), (2.1.4)

откуда, сославшись на (5.3.11), легко получим

как и требовалось. Аналогично доказывается второе равенство (5.5.8). Впрочем, сказанное следует и из чисто статических соображений [ср. п. 1.5].