6.7. Первая краевая задача для круга.
По (5.2.16) краевое условие на единичной окружности у имеет вид
причем
— заданная функция, а
— значения на у голоморфных в единичном круге
функций
причем по (5.3.4) можно принять
Сопряженное с (6.7.1) краевое условие имеет вид
Из степенных рядов, представляющих
в единичном круге:
следует
Поэтому применение способа интегралов Коши
и интегральных формул (5.10.2), (5.10.3) приводит к соотношениям
Сравнение свободных членов этих равенств и членов первой степени в первом равенстве приводит к соотношениям
причем второе повторяет первое. Теперь первое равенство (6.7.3) представляется в виде
и из него дифференцированием находим
так что по второму равенству (6.7.3)
При обозначениях
можно теперь представить вектор перемещения в виде
или, сославшись на (6.7.4),
Обратившись к формулам Сохоцкого — Племели (5.11.6), нетрудно проверить этот результат. Действительно, полагая
имеем
так что
Учитывая еще равенства
приходим к требуемому соотношению
Отметим еще, что, задавая
в форме перемещения твердой фигуры
имеем по (6.7.7)
так что
что и требуется.
Остается определить
Обращаясь для этого к формулам
и сославшись на (6.7.5), (6.7.8), имеем
или, по (6.7.7),
где
— радиальное перемещение на окружности. Итак,
Присоединив сюда ранее найденное соотношение (6.7.4):
из двух уравнений (6.7.12), (6.7.13) находим
и сопряженное значение для
Теперь по (6.7.5) имеем