6.7. Первая краевая задача для круга.

По (5.2.16) краевое условие на единичной окружности у имеет вид

причем — заданная функция, а — значения на у голоморфных в единичном круге функций причем по (5.3.4) можно принять Сопряженное с (6.7.1) краевое условие имеет вид

Из степенных рядов, представляющих в единичном круге:

следует

Поэтому применение способа интегралов Коши и интегральных формул (5.10.2), (5.10.3) приводит к соотношениям

Сравнение свободных членов этих равенств и членов первой степени в первом равенстве приводит к соотношениям

причем второе повторяет первое. Теперь первое равенство (6.7.3) представляется в виде

и из него дифференцированием находим

так что по второму равенству (6.7.3)

При обозначениях

можно теперь представить вектор перемещения в виде

или, сославшись на (6.7.4),

Обратившись к формулам Сохоцкого — Племели (5.11.6), нетрудно проверить этот результат. Действительно, полагая имеем

так что

Учитывая еще равенства

приходим к требуемому соотношению

Отметим еще, что, задавая в форме перемещения твердой фигуры

имеем по (6.7.7)

так что

что и требуется.

Остается определить Обращаясь для этого к формулам

и сославшись на (6.7.5), (6.7.8), имеем

или, по (6.7.7),

где

— радиальное перемещение на окружности. Итак,

Присоединив сюда ранее найденное соотношение (6.7.4):

из двух уравнений (6.7.12), (6.7.13) находим

и сопряженное значение для

Теперь по (6.7.5) имеем