ПРИЛОЖЕНИЕ III. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
III.1. Определения.
Три числа, задающие положение точки в пространстве, обозначаемые 
называются ее криволинейными координатами. Связь декартовых координат с криволинейными выражается тремя соотношениями
или, в векторной записи (R - вектор-радиус),
Функции (III. 1.1) предполагаются в области их задания непрерывными, однозначными и имеющими непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Они должны быть разрешимы единственным образом относительно 
это условие равносильно требованию необращения в нуль якобиана
Нумерация координат предполагается выбранной так, чтобы якобиан был положительным.
Преобразование (III. 1.1) определяет три семейства поверхностей 
координатные линии представляют кривые, по которым пересекаются координатные поверхности. Вдоль координатной линии, обозначаемой 
переменной является координата 
Координатные поверхности одного и того же семейства при условии (III. 1.3) не пересекаются.
Хорошо известными примерами являются цилиндрические и сферические координаты. Для цилиндрических координат 
радиус, азимутальный угол, высота. Формулы (III. 1.1) имеют вид
Область их задания представляется неравенствами
которых служит 
полуплоскости 
проходящие через эту ось, плоскости 
ей перпендикулярные. Координатными линиями в пересечении соответствующих пар поверхностей являются прямые 
параллельные оси 
радиально направленные полупрямые 
окружности 
Якобиан 
обращается в нуль на оси 
по которой пересекаются плоскости 
эта прямая не включается в область задания координат.
(радиус, угол, отсчитываемый по меридиану от северного полюса, долгота) имеем
с центром в начале координат О, круговые конусы 
вершиной в этой точке, проходящие через ось 
полуплоскости 
Координатные линии представляют параллельные круги 
по которым пересекаются поверхности сфер и конусов, радиально расходящиеся из центра О полупрямые 
и меридианы 
Якобиан 
обращается в нуль в центре О и в полюсах сфер.