вводится тензор А, равный сумме трех диад 
и транспонированный ему тензор 
:
Умножение А слева на вектор а (или 
справа на а) приводит к вектору, обозначаемому а:
Проекции этого вектора на новые оси 
равны проекциям дивектора а на старые оси 
это значит, что вектор а получен из а путем поворота последнего вместе с триэдром 
Тензоры 
осуществляющие эту операцию, называются тензорами поворота.
Проекции векторов 
на старые оси равны соответственно (1, 0, 0) и (оси, 
); поэтому матрица компонент диады 
представляется в виде
а компоненты тензора А — матрицей косинусов 
Получаем
что и требуется.
Отметим еще соотношение
выражающее, что транспонирование тензора поворота приводит к обратному тензору. Это — характеристическое свойство тензора поворота; всякий тензор, обладающий этим свойством, является тензором поворота. Действительно, пусть
Поскольку определители 
конечно, равны друг другу, а определитель 
имеем 
и примем 
в (1.7.8) имеем 
и приходим к шести равенствам
определяющим вместе с условием 
по (1.1.5) матрицу косинусов.
Известно, что поворот твердого тела (системы связанных с ним осей из старого положения 
в новое 
может быть задан вектором конечного поворота 0; этот вектор имеет
направление оси, вокруг которой производится поворот, и величину 
где 
угол поворота:
Вектор а, заданный в системе осей 
при этом становится вектором 
, определяемым формулой О. Родрига:
Его можно представить также в виде
Введем кососимметричный тензор
так что
Тогда (I. 8.6) можно будет преобразовать к виду
позволяющему дать инвариантное (не связанное с выбором осей) представление тензоров поворота:
обозначают единичные векторы осей триэдра 
триэдра 
, получающегося из первого с помощью поворота. В рассмотрение
