вводится тензор А, равный сумме трех диад
и транспонированный ему тензор
:
Умножение А слева на вектор а (или
справа на а) приводит к вектору, обозначаемому а:
Проекции этого вектора на новые оси
равны проекциям дивектора а на старые оси
это значит, что вектор а получен из а путем поворота последнего вместе с триэдром
Тензоры
осуществляющие эту операцию, называются тензорами поворота.
Проекции векторов
на старые оси равны соответственно (1, 0, 0) и (оси,
); поэтому матрица компонент диады
представляется в виде
а компоненты тензора А — матрицей косинусов
Получаем
что и требуется.
Отметим еще соотношение
выражающее, что транспонирование тензора поворота приводит к обратному тензору. Это — характеристическое свойство тензора поворота; всякий тензор, обладающий этим свойством, является тензором поворота. Действительно, пусть
Поскольку определители
конечно, равны друг другу, а определитель
имеем
и примем
в (1.7.8) имеем
и приходим к шести равенствам
определяющим вместе с условием
по (1.1.5) матрицу косинусов.
Известно, что поворот твердого тела (системы связанных с ним осей из старого положения
в новое
может быть задан вектором конечного поворота 0; этот вектор имеет
направление оси, вокруг которой производится поворот, и величину
где
угол поворота:
Вектор а, заданный в системе осей
при этом становится вектором
, определяемым формулой О. Родрига:
Его можно представить также в виде
Введем кососимметричный тензор
так что
Тогда (I. 8.6) можно будет преобразовать к виду
позволяющему дать инвариантное (не связанное с выбором осей) представление тензоров поворота: