3.3. Теорема о циркуляции касательных напряжений.

Предполагается, что призматический стержень содержит незаполненные веществом полости, так что его поперечное сечение представляет многосвязную область; ее контур состоит из наружного контура и внутренних иесоприкасающихся контуров ограничивающих внутренние области (рис. 27). Через обозначается единичный вектор нормали к вовне а через нормали к направленные также вовне то есть внутрь

На каждом из контуров согласно (3.1.6), функция напряжений сохраняет постоянное значение одну из этих постоянных, не изменяя ни напряжений, ни депланации, можно произвольно зафиксировать. Мы примем тогда

Постоянные наперед неизвестны; их определение составляет трудную часть задачи; решение ее дается теоремой о циркуляции касательных напряжений.

Через обозначим решение в дифференциального уравнения Пуассона (3.1.8):

при краевых условиях

а через - гармоническую в функцию, равную 1 на и обращающуюся в нуль на всех прочих контурах

Этими условиями все функции определены в а функция напряжений может быть представлена через них в виде

Рассматривается циркуляция К касательных напряжений, вычисляемая по любому замкнутому контуру в области через обозначается единичный вектор нормали, направленный вовне ограниченной площади

С другой стороны, по (3.1.5) и (3.2.4)

так как первый интеграл равен нулю вследствие однозначности в депланации а второй представляет удвоенную площадь, ограниченную контуром Пришли к теореме о циркуляции касательного напряжения. Итак,

В применении к контуру границе полости эта формула приводит к соотношению

так как вектор направлен внутрь а направление обхода по сохранено прежнее (область расположена слева). После замены его выражением (3.3.5) приходим к системе уравнений для определения неизвестных

В применении к соотношение (3.3.6) дает

где в скобках справа — площадь, ограниченная контуром Однако это уравнение является следствием системы (3.3.8). Действительно, заменив их значениями (3.3.8), имеем

Через назовем совокупность контуров ограничивающих область через единичный вектор нормали к внешней к Тогда после преобразования по формуле Грина получим

а в применении к

что и требовалось.

Разыскание постоянных сведено к системе линейных уравнений (3.3.8):

причем в п. 3.5 доказывается симметричность матрицы . К системе уравнений (3.3.10) мы вернемся в п. 3.17.