1.9. Главные оси и главные значения симметричного тензора.

Разыскивается такое направление (определяемое единичным вектором ), чтобы вектор где заданный симметричный тензор второго ранга, был параллелен этому направлению

Здесь к — пока неизвестный скаляр. Полагая можно переписать это равенство в виде

Пришли к трем уравнениям

к которым надо еще присоединить уравнение, выражающее, что единичный вектор:

Им исключается из рассмотрения тривиальное решение системы линейных однородных уравнений (1.9.3). Ее определитель должен быть равным нулю:

так что числа А являются корнями этого кубического уравнения — характеристического уравнения тензора Они инвариантны относительно преобразования поворота координатной системы, что сразу же следует из соотношения (1.3.8) в применении к тензору

Пусть два не равных друг другу корня уравнения (1.9.5), соответствующие им векторы назовем Тогда

откуда следует

Но для симметричного тензора

и поэтому

Если бы корни были комплексными сопряженными, то таковыми были бы и соответствующие решения систем уравнений (1.9.3) для но сумма равная сумме квадратов модулей чисел не может быть нулем;

этим доказано, что корни полинома вещественны, а векторы, соответствующие его двум различным корням, взаимно перпендикулярны.

1°. Пусть корни полинома простые Имеем

где - алгебраическое дополнение элемента строки, столбца определителя (1.9.5) при Хотя бы одно слагаемое этой суммы (пусть третье) отлично от нуля — в противном случае имели бы и корень не был бы простым. Тогда из первого и второго уравнений (1.9.3) имеем (см. также (1.10.14а))

и по (1.9.4) найдем

причем, конечно, удовлетворено и третье уравнение (1.9.3), так как

Итак, для каждого из корней уравнения (1.9.5) определено его направляющими косинусами направление такое, что

Эти три направления взаимно ортогональны, их называют главными направлениями тензора а числа его главными значениями. Из соотношений

следует, что в ортогональной системе направлений матрица компонент тензора является диагональной:

а диадное представление тензора имеет трехчленный вид:

2°. Случай двукратного корня Сказанное выше сохраняется для направления оно ортогонально прочим направлениям:

Для двойного корня

и хотя бы одно слагаемое в этой сумме, пусть первое, отлично от нуля. Для определения трех неизвестных служат лишь два уравнения — первое уравнение (1.9.3) и уравнение (1.9.4); второе и третье уравнения (1.9.3) удовлетворены тождественно — это следствие того, что Направление доопределяется требованием его ортогональности к Итак, в случае двойного корня лишь одно из трех главных направлений определено однозначно, а два других произвольно ориентированы в плоскости, перпендикулярной система направлений определена с точностью до поворота вокруг Диадное представление тензора записывается в виде

Из него следует, что лишь направление является характерным для тензора

3°. В случае трехкратного корня

и главные направления произвольны. Тензор является изотропным; его называют также шаровым.

В заключение заметим, что определитель произведения двух тензоров равен произведению их определителей; поэтому

и из (1.9.5) следует, что главные значения тензоров и равны.

Рассмотрим еще тензор

это «повернутый тензор главные значения тензоров равны, а триэдры главных осей связаны преобразованием поворота.